Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e depois integração de logaritmos.
Passo 2
Vamos escrever
como soma de frações simples:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Passo 3
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de
:
$$A(2x2+5x+3)+B(2x2+3x)+C(x2+x)=\bigl(2A+2B+C\bigr)x2+\bigl(5A+3B+C\bigr)x+3A.
$$ Igualando aos coeficientes de
, conseguimos o sistema:
Passo 4
Resolvendo o sistema: de
3A=1 vem
A=1/3 . Substituindo em
2A+2B+C=0 dá
2/3+2B+C=0 e em
5A+3B+C=0 dá
5/3+3B+C=0 . Dessas duas equações obtemos
B=-1 e em seguida
C=4/3 .
Passo 5
Logo
$$\frac{1}{x(x+1)(2x+3)}=\frac{1/3}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{4/3}{2x+3}.
$$ Integrando termo a termo:
$$\int\frac{1/3}{x},dx=\tfrac{1}{3}\ln|x|,\quad\int!\bigl(-\tfrac{1}{x+1}\bigr)dx=-\ln|x+1|,
$$ e para
1x(x+1)(2x+3)=1/3x-1x+1+4/32x+3 usamos
integral1/3x,dx=tfrac13ln|x|,integral!l(-tfrac1x+1r)dx=-ln|x+1|, ,
4/32x+3 :
$$\int\frac{4/3}{2x+3}dx=\frac{4}{3}\cdot\frac12\ln|2x+3|=\frac{2}{3}\ln|2x+3|.
$$
Passo 6
Combinando tudo, a integral vale: