Calcule a integral.
integral d xx(x+1)(2 x+3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral dxx(x+1)(2x+3). O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e depois integração de logaritmos.

Passo 2

Vamos escrever 1x(x+1)(2x+3) como soma de frações simples: 1x(x+1)(2x+3)=Ax+Bx+1+C2x+3 Multiplicando ambos os lados por x(x+1)(2x+3) obtemos: 1=A(x+1)(2x+3)+B,x(2x+3)+C,x(x+1)

Passo 3

Expandindo e agrupando coeficientes em potências de x:
$$A(2x2+5x+3)+B(2x2+3x)+C(x2+x)=\bigl(2A+2B+C\bigr)x2+\bigl(5A+3B+C\bigr)x+3A.
$$ Igualando aos coeficientes de A(2x^2+5x+3)+B(2x^2+3x)+C(x^2+x)=l(2A+2B+Cr)x^2+l(5A+3B+Cr)x+3A , conseguimos o sistema:
1=0,x^2+0,x+1

Passo 4

Resolvendo o sistema: de 3A=1 vem A=1/3. Substituindo em 2A+2B+C=0 2/3+2B+C=0 e em 5A+3B+C=0 5/3+3B+C=0. Dessas duas equações obtemos B=-1 e em seguida C=4/3.

Passo 5

Logo
$$\frac{1}{x(x+1)(2x+3)}=\frac{1/3}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{4/3}{2x+3}.
$$ Integrando termo a termo:
$$\int\frac{1/3}{x},dx=\tfrac{1}{3}\ln|x|,\quad\int!\bigl(-\tfrac{1}{x+1}\bigr)dx=-\ln|x+1|,
$$ e para 1x(x+1)(2x+3)=1/3x-1x+1+4/32x+3 usamos integral1/3x,dx=tfrac13ln|x|,integral!l(-tfrac1x+1r)dx=-ln|x+1|, , 4/32x+3:
$$\int\frac{4/3}{2x+3}dx=\frac{4}{3}\cdot\frac12\ln|2x+3|=\frac{2}{3}\ln|2x+3|.
$$

Passo 6

Combinando tudo, a integral vale:

Resposta

tfrac13ln|x|-ln|x+1|+tfrac23ln|2x+3|+C

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