Calcule a integral.
integral x^2+7 x-6(x+1)(x^2-4 x+7) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralx^2+7x-6(x+1)(x^2-4x+7),dx. Isso é uma integral de função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro expressamos a função racional como soma de frações parciais:
x^2+7x-6(x+1)(x^2-4x+7) =Ax+1+Bx+Cx^2-4x+7

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2-4x+7) obtemos
x^2+7x-6=A(x^2-4x+7)+(Bx+C)(x+1)
Expandindo e agrupando termos em potências de x e igualando coeficientes, chegamos ao sistema
A+B=1, -4A+B+C=7, 7A+C=-6
Resolvendo, encontramos A=-1, B=2 e C=1.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
integralx^2+7x-6(x+1)(x^2-4x+7),dx =integrall(-1x+1+2x+1x^2-4x+7r)dx
Agora dividimos em duas integrais:
I1=-integral1x+1dx, I2=integral2x+1x^2-4x+7dx

Passo 5

Para I1 basta lembrar que integral1x+1dx=ln|x+1|+C, logo
I1=-ln|x+1|
Para I2, completamos o quadrado em x^2-4x+7=(x-2)^2+3 e escrevemos o numerador como
2x+1=2(x-2)+5
Então
I2=integral2(x-2)(x-2)^2+3dx+5integral1(x-2)^2+3dx
No primeiro termo fazemos u=(x-2)^2+3, du=2(x-2)dx, obtendo lnl((x-2)^2+3r).
No segundo usamos a forma integral1u^2+a^2du=1aarctan(u/a), com u=x-2 e a=raiz3, dando 5raiz3arctanl((x-2)/raiz3r).

Passo 6

Juntando tudo, a primitiva é
-ln|x+1|+lnl((x-2)^2+3r)+5raiz3arctanl(x-2raiz3r)+C

Resposta

-ln|x+1|+lnl((x-2)^2+3r)+tfrac5raiz3arctanl((x-2)/raiz3r)+C

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