Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{R} \arctan (y / x) d A, onde
R=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant x\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dA
onde a região R é dada por
R=\{(x,y)\mid 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4,\; 0 \le y \le x\}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A região está entre duas circunferências concêntricas de raios 1 e 2, pois 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4.
  • A região também satisfaz 0 \le y \le x, ou seja, pontos com ordenada não negativa e com y menor ou igual a x.

Passo 2

Vamos passar para coordenadas polares. Lembretes e fórmulas que vou usar:
  • As coordenadas polares são x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
  • A área elementar transforma como dA = r\,dr\,d\theta. Isso vem do Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y); geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
  • A integral em coordenadas polares fica, em geral,
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{\theta_{\min}}^{\theta_{\max}}\int_{r_{\min}(\theta)}^{r_{\max}(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Expressar o integrando em polares. Temos
\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\!\big(\tan\theta\big),
porque \dfrac{y}{x}=\dfrac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\tan\theta sempre que \cos\theta\neq0. Porém, a igualdade \arctan(\tan\theta)=\theta vale somente quando \theta está no intervalo principal de \arctan, isto é (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Então preciso determinar exatamente o intervalo de \theta correspondente à região R para garantir que a substituição \arctan(y/x)=\theta seja válida.

Passo 4

Determinar os limites da região em polares.
  • Do anel: 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 implica 1 \le r^{2} \le 4, portanto
1 \le r^{2} \le 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le r \le 2.
  • Da desigualdade 0 \le y \le x:
    • y\ge0 significa \sin\theta \ge 0, então \theta\in[0,\pi].
    • Se x\le 0 e y\ge0 então y\le x seria impossível (pois x\le0<y não permite y\le x), exceto o caso y=0 que corresponderia a r=0, mas aqui r\ge1. Logo x>0 em toda a região, o que reduz \theta para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
    • Agora y\le x em termos de \theta é \tan\theta \le 1, o que dá \theta \le \tfrac{\pi}{4} (no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]).
      Portanto o intervalo de \theta é
0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}.
Observação importante: esse intervalo está contido em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então podemos substituir \arctan(\tan\theta)=\theta sem ambiguidade.

Passo 5

Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados. Substituindo \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\theta e dA=r\,dr\,d\theta, obtemos
\iint_{R} \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2} \theta\; r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral iterada passo a passo.
Primeiro a integral em r:
\int_{r=1}^{2} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{2}-1^{2}}{2}=\frac{4-1}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a integral fica
\int_{0}^{\pi/4} \theta\left(\frac{3}{2}\right) d\theta = \frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta.
Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta = \left.\frac{\theta^{2}}{2}\right|_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{16} = \frac{\pi^{2}}{32}.
Multiplicando pelos fatores:
\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{32} = \frac{3\pi^{2}}{64}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a região era um setor anular do ângulo de amplitude \tfrac{\pi}{4} entre raios 1 e 2, o integrando em polares reduziu-se a \theta, e o cálculo das integrais dá o valor acima. Faz sentido dimensional e com a simetria do problema.

Resposta

\dfrac{3\pi^{2}}{64}

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