A região está entre duas circunferências concêntricas de raios 1 e 2, pois 1 \le x^{2}+y^{2} \le 4.
A região também satisfaz 0 \le y \le x, ou seja, pontos com ordenada não negativa e com y menor ou igual a x.
Passo 2
Vamos passar para coordenadas polares. Lembretes e fórmulas que vou usar:
As coordenadas polares são x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
A área elementar transforma como dA = r\,dr\,d\theta. Isso vem do Jacobiano da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y); geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta.
porque \dfrac{y}{x}=\dfrac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\tan\theta sempre que \cos\theta\neq0. Porém, a igualdade \arctan(\tan\theta)=\theta vale somente quando \theta está no intervalo principal de \arctan, isto é (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Então preciso determinar exatamente o intervalo de \theta correspondente à região R para garantir que a substituição \arctan(y/x)=\theta seja válida.
y\ge0 significa \sin\theta \ge 0, então \theta\in[0,\pi].
Se x\le 0 e y\ge0 então y\le x seria impossível (pois x\le0<y não permite y\le x), exceto o caso y=0 que corresponderia a r=0, mas aqui r\ge1. Logo x>0 em toda a região, o que reduz \theta para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
Agora y\le x em termos de \theta é \tan\theta \le 1, o que dá \theta \le \tfrac{\pi}{4} (no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]).
Portanto o intervalo de \theta é
0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}.
Observação importante: esse intervalo está contido em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), então podemos substituir \arctan(\tan\theta)=\theta sem ambiguidade.
Passo 5
Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados. Substituindo \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\theta e dA=r\,dr\,d\theta, obtemos
Interpretação final e checagem rápida: a região era um setor anular do ângulo de amplitude \tfrac{\pi}{4} entre raios 1 e 2, o integrando em polares reduziu-se a \theta, e o cálculo das integrais dá o valor acima. Faz sentido dimensional e com a simetria do problema.