Calcule a integral dupla.
\iint_{D} e^{x / y} d A, \quad D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant y \leqslant 2, y \leqslant x \leqslant y^{3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{x / y}\, dA,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\mid 1 \le y \le 2,\; y \le x \le y^{3}\}.
As perguntas claras são:
  • Calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.
    As informações relevantes do enunciado são:
  • y varia de \,1 até \,2.
  • Para cada y fixo nessa faixa, x varia de \,x=y até \,x=y^{3}.
  • A função a integrar é e^{x/y}.

Passo 2

Escolhemos integrar primeiro em x e depois em y, porque a região foi dada com x entre funções de y. Assim a integral iterada é
\int_{y=1}^{2}\left(\int_{x=y}^{y^{3}} e^{x / y}\, dx\right) dy.
Nesta integral interna \int_{x=y}^{y^{3}} e^{x / y}\, dx, o y é tratado como constante (já que estamos integrando em x). Vou agora calcular essa integral interna.

Passo 3

Calcular a antiderivada de \,e^{x/y} em relação a x.
Explicação da técnica: quando integrar uma função do tipo e^{ax} com a constante, a antiderivada é \frac{1}{a}e^{ax}. Aqui a expressão no expoente é \frac{x}{y}; como y é constante na integração em x, pode-se usar a substituição
u=\frac{x}{y}\quad\Rightarrow\quad du=\frac{dx}{y}\quad\Rightarrow\quad dx=y\,du.
Aplicando isso:
\int e^{x/y}\,dx=\int e^{u}\, (y\,du)=y\int e^{u}\,du = y e^{u} + C = y e^{x/y}+C.
Portanto a antiderivada é \,y e^{x/y}.
Avaliando a integral interna entre x=y e x=y^{3}:
\int_{x=y}^{y^{3}} e^{x/y}\,dx = \left. y e^{x/y}\right|_{x=y}^{x=y^{3}} = y\bigl(e^{y^{3}/y}-e^{y/y}\bigr) = y\bigl(e^{y^{2}}-e^{1}\bigr).
Observação: e^{1} é simplesmente e.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral em y, obtemos
\int_{1}^{2} y\bigl(e^{y^{2}}-e\bigr)\,dy.
Distribuindo:
\int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy \;-\; e\int_{1}^{2} y\,dy.
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy.
Técnica: usar a substituição t=y^{2}. Então
t=y^{2}\quad\Rightarrow\quad dt=2y\,dy\quad\Rightarrow\quad y\,dy=\frac{dt}{2}.
Assim
\int y e^{y^{2}}\,dy = \int e^{t}\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2} e^{t} + C = \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C.
Avaliando de y=1 a y=2:
\int_{1}^{2} y e^{y^{2}}\,dy = \left.\frac{1}{2} e^{y^{2}}\right|_{1}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr).

Passo 6

Calcular \displaystyle e\int_{1}^{2} y\,dy.
A integral simples é
\int_{1}^{2} y\,dy = \left.\frac{1}{2}y^{2}\right|_{1}^{2} = \frac{1}{2}(4-1)=\frac{3}{2}.
Multiplicando por e
e\int_{1}^{2} y\,dy = e\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{2}e.

Passo 7

Combinar os resultados das duas integrais:
\iint_{D} e^{x/y}\,dA = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr) - \frac{3}{2}e.
Agrupando os termos com e:
\frac{1}{2}e^{4} - \frac{1}{2}e - \frac{3}{2}e = \frac{1}{2}e^{4} - 2e.

Resposta

\dfrac{1}{2}e^{4}-2e

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