\mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+x y z \mathbf{k}
S é a parte do plano 2 x+y+z=2 que está no primeiro octante, orientada para cima.

Passo 1

O enunciado dá a campo vetorial \mathbf{F} e a superfície S:
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+xyz\,\mathbf{k}.
A superfície S é a parte do plano
2x+y+z=2
que está no primeiro octante (isto é, x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0), orientada para cima.
O que se pede (inferido do enunciado): calcular o fluxo de \mathbf{F} através de S com a orientação para cima, isto é, avaliar
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde \mathbf{n} é o versor normal à superfície apontando para cima.

Passo 2

Escolha do método e fórmula útil (mini-aula rápida).
  • Como o plano pode ser escrito como gráfico z=z(x,y) na forma
z=2-2x-y,
é conveniente projetar S no plano xy e usar a fórmula do fluxo para superfícies gráficas orientadas para cima.
  • Se uma superfície é dada por z=z(x,y), então um vetor normal (não unitário) que corresponde à orientação para cima é
\mathbf{n}\,dS = (-z_x,\,-z_y,\,1)\,dA,
onde z_x=\partial z/\partial x, z_y=\partial z/\partial y e dA é a área no plano xy. A razão: parametrizando por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,z(x,y)), tem-se \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-z_x,-z_y,1). Portanto o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D}\mathbf{F}(x,y,z(x,y))\cdot(-z_x,-z_y,1)\,dA,
ou explicitamente
\iint_{D}\bigl(-P\,z_x - Q\,z_y + R\bigr)\,dA,
onde P,Q,R são as componentes de \mathbf{F}: \mathbf{F}=(P,Q,R).

Passo 3

Calcular z_x, z_y e montar o integrando.
  • Da equação do plano extraímos
z(x,y)=2-2x-y.
Logo
z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = -2,\qquad z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -1.
As componentes do campo são P(x,y,z)=x, Q(x,y,z)=y, R(x,y,z)=xyz.
Aplicando a fórmula do passo anterior, o integrando vale
- P\,z_x - Q\,z_y + R = -x\cdot(-2) - y\cdot(-1) + xyz.
Simplificando os dois primeiros termos:
- x(-2) - y(-1) = 2x + y.
Substituindo z=2-2x-y em R=xyz,
R = x y z = x y (2-2x-y) = 2xy - 2x^2 y - x y^2.
Portanto o integrando completo é
2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2.

Passo 4

Determinar a região de projeção D no plano xy.
A superfície está no primeiro octante e satisfaz z=2-2x-y\ge0. Assim
2-2x-y \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y \le 2-2x.
Também x\ge0 e y\ge0. Além disso, para y\ge0 precisa-se 2-2x\ge0\Rightarrow x\le1. Logo a região D é o triângulo
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; 0\le y\le 2-2x\}.

Passo 5

Montar a integral dupla para o fluxo.
Usando os limites obtidos e o integrando do passo 3:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2-2x}\bigl(2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 6

Calcular a integral interna em y. Integramos termo a termo:
\int\bigl(2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2\bigr)\,dy =2x y + \frac{y^2}{2} + x y^2 - x^2 y^2 - \frac{x y^3}{3},
avaliado entre y=0 e y=2-2x. No y=0 dá zero, então substituímos y=2-2x. Para facilitar, escrevemos t=2-2x=2(1-x).
Substituindo y=t:
\begin{aligned} &2x t + \frac{t^2}{2} + x t^2 - x^2 t^2 - \frac{x t^3}{3}\\[4pt] &= \bigl(4x-4x^2\bigr) + \bigl(2-4x+2x^2\bigr) + \bigl(4x-8x^2+4x^3\bigr) + \bigl(-4x^2+8x^3-4x^4\bigr) + \Bigl(-\frac{8}{3}x+8x^2-8x^3+\frac{8}{3}x^4\Bigr), \end{aligned}
onde cada linha corresponde à expansão dos termos (detalhes das multiplicações: 2x\cdot t=2x\cdot 2(1-x)=4x-4x^2, t^2/2 = 2(1-x)^2, etc.).]

Passo 7

Somar e simplificar os coeficientes em potência de x.
Agrupando termos por potências de x obtemos (fazendo a soma termo a termo):
2 + \frac{4}{3}x - 6x^2 + 4x^3 - \frac{4}{3}x^4.
Ou seja, a integral dupla fica
\int_{0}^{1}\left(2 + \frac{4}{3}x - 6x^2 + 4x^3 - \frac{4}{3}x^4\right)\,dx.

Passo 8

Integrar em x de 0 a 1.
Integramos termo a termo:
\begin{aligned} \int_{0}^{1}2\,dx &= 2,\\[4pt] \int_{0}^{1}\frac{4}{3}x\,dx &= \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{3},\\[4pt] \int_{0}^{1}-6x^2\,dx &= -6\cdot\frac{1}{3}=-2,\\[4pt] \int_{0}^{1}4x^3\,dx &= 4\cdot\frac{1}{4}=1,\\[4pt] \int_{0}^{1}-\frac{4}{3}x^4\,dx &= -\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{5}=-\frac{4}{15}. \end{aligned}
Somando:
2 + \frac{2}{3} -2 + 1 - \frac{4}{15} = 1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{15}.
Colocando em denominador comum 15:
1 + \frac{2}{3} - \frac{4}{15} = \frac{15}{15} + \frac{10}{15} - \frac{4}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}.]

Passo 9

Interpretação final e incentivo.
O fluxo de \mathbf{F} através da parte do plano no primeiro octante, com orientação para cima, é \dfrac{7}{5}. Mandou bem de buscar a resolução passo a passo — continue nesse ritmo que dá certo!

Resposta

\dfrac{7}{5}

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