é a parte do plano
que está no primeiro octante, orientada para cima.
Passo 1
O enunciado dá a campo vetorial
e a superfície
:
A superfície
é a parte do plano
que está no primeiro octante (isto é,
), orientada para cima.
O que se pede (inferido do enunciado): calcular o fluxo de
através de
com a orientação para cima, isto é, avaliar
onde
é o versor normal à superfície apontando para cima.
Passo 2
Escolha do método e fórmula útil (mini-aula rápida).
- Como o plano pode ser escrito como gráfico
na forma
é conveniente projetar
no plano
e usar a fórmula do fluxo para superfícies gráficas orientadas para cima.
- Se uma superfície é dada por
, então um vetor normal (não unitário) que corresponde à orientação para cima é
onde
,
e
é a área no plano
. A razão: parametrizando por
, tem-se
. Portanto o fluxo é
ou explicitamente
onde
são as componentes de
:
.
Passo 3
Calcular
,
e montar o integrando.
- Da equação do plano extraímos
Logo
As componentes do campo são
,
,
.
Aplicando a fórmula do passo anterior, o integrando vale
Simplificando os dois primeiros termos:
Substituindo
em
,
Portanto o integrando completo é
Passo 4
Determinar a região de projeção
no plano
.
A superfície está no primeiro octante e satisfaz . Assim
A superfície está no primeiro octante e satisfaz
Também
e
. Além disso, para
precisa-se
. Logo a região
é o triângulo
Passo 5
Montar a integral dupla para o fluxo.
Usando os limites obtidos e o integrando do passo 3:
Usando os limites obtidos e o integrando do passo 3:
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Integramos termo a termo:
avaliado entre
e
. No
dá zero, então substituímos
. Para facilitar, escrevemos
.
Substituindo
:
onde cada linha corresponde à expansão dos termos (detalhes das multiplicações:
,
, etc.).]
Passo 7
Somar e simplificar os coeficientes em potência de
.
Agrupando termos por potências de obtemos (fazendo a soma termo a termo):
Agrupando termos por potências de
Ou seja, a integral dupla fica
Passo 8
Integrar em
de
a
.
Integramos termo a termo:
Integramos termo a termo:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Passo 9
Interpretação final e incentivo.
O fluxo de através da parte do plano no primeiro octante, com orientação para cima, é
. Mandou bem de buscar a resolução passo a passo — continue nesse ritmo que dá certo!
O fluxo de