Calcule
, onde
é o retângulo
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo dado por
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Região
. - Integrando:
. - Objetivo: encontrar o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Primeira observação útil (sem calcular ainda): a função integrando é contínua em
(pois o denominador
nunca zera). Então podemos usar a escrita por integrais iteradas (teorema de Fubini) e escolher a ordem de integração que facilitar. Além disso note que a função é produto de uma parte que depende só de
e outra que depende só de
:
Quando a função se separa assim, a integral dupla sobre um retângulo se fatoriza em produto de integrais simples — isso simplifica bastante o cálculo. Vou usar essa propriedade.
Passo 3
Escrevendo a integral como iterada e fatorando a parte que é constante em cada integração:
Dentro da integral interna a expressão
é constante em
, então posso tirá-la fora da integral em
:
Substituindo de volta e observando que a integral em
não depende de
, obtemos a fatoração
Passo 4
Calculo a integral em
:
Antiderivada de
em
é
. Antiderivada de
é
. Então
Passo 5
Calculo a integral em
:
Conhecimento importante: uma primitiva de
é
, porque
. Assim
Sabemos que
e
, então
Passo 6
Multiplico os dois resultados obtidos:
Cancelando o
,