Calcule \iint_{R} \frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} d A, onde R é o retângulo 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\,dA,
onde R é o retângulo dado por 0\le x\le 1 e 0\le y\le 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Região R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
  • Integrando: \dfrac{1+y^{2}}{1+x^{2}}.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Primeira observação útil (sem calcular ainda): a função integrando é contínua em R (pois o denominador 1+x^{2} nunca zera). Então podemos usar a escrita por integrais iteradas (teorema de Fubini) e escolher a ordem de integração que facilitar. Além disso note que a função é produto de uma parte que depende só de x e outra que depende só de y:
\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}=\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)\cdot(1+y^{2}).
Quando a função se separa assim, a integral dupla sobre um retângulo se fatoriza em produto de integrais simples — isso simplifica bastante o cálculo. Vou usar essa propriedade.

Passo 3

Escrevendo a integral como iterada e fatorando a parte que é constante em cada integração:
\iint_{R}\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\,dy\right)dx.
Dentro da integral interna a expressão \dfrac{1}{1+x^{2}} é constante em y, então posso tirá-la fora da integral em y:
\int_{0}^{1}\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\,dy =\frac{1}{1+x^{2}}\int_{0}^{1}(1+y^{2})\,dy.
Substituindo de volta e observando que a integral em y não depende de x, obtemos a fatoração
\iint_{R}\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\,dA =\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}(1+y^{2})\,dy\right).

Passo 4

Calculo a integral em y:
\int_{0}^{1}(1+y^{2})\,dy.
Antiderivada de 1 em y é y. Antiderivada de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{1}(1+y^{2})\,dy=\left[y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1+\frac{1^{3}}{3}\right)-\left(0+\frac{0^{3}}{3}\right) =1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Calculo a integral em x:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Conhecimento importante: uma primitiva de \dfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan(x), porque \dfrac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Assim
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-\arctan(0).
Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, então
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Multiplico os dois resultados obtidos:
\iint_{R}\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}\,dA =\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}(1+y^{2})\,dy\right) =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{4}{3}.
Cancelando o 4,
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{4}{3}=\frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{3}

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