Determine o limite, se existir, ou mostre que o
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função
quando
.
Informações dadas:
Pergunta: existe
Se existir, qual é o valor desse limite?
Passo 2
Primeiro, simplifico a expressão do numerador para ver a estrutura da função. Fatorando
no numerador obtenho:
Portanto posso escrever
Essa forma é mais clara: o numerador é produto de
por
, e o denominador é soma de quadrados.
Passo 3
Uma inspeção direta sugere um candidato para o limite. Quando
temos
e
. Então o numerador
. O denominador
. Assim, por intuição, o quociente tende a
Mas isso é apenas uma indicação; agora vamos provar rigorosamente que o limite realmente é
.
Passo 4
Vou provar que
usando um argumento tipo epsilon–delta (controle por desigualdades). Quero mostrar que dado
existe
tal que se
então
.
Para fazer isso, primeiro garanto que, perto da origem, o denominador não fica pequeno (pois o denominador só é zero em
, longe de
). Escolho
Se
então em particular
e
. Daí
Como
, temos
Agora uso essas desigualdades para controlar
. Lembro que
, então
Com a menor cota do denominador,
Além disso, quando
vale
Portanto, sob a condição
,
Agora fica fácil: dado
, escolha
Se
então
, e pela desigualdade anterior obtemos
Isso prova, pelo critério epsilon–delta, que
Passo 5
Comentário final e intuição prática para a prova: o truque principal foi notar a fatoração
e observar que o ponto problemático do denominador é
, não o ponto de interesse
. Assim, perto de
o denominador fica uniformemente afastado de zero, permitindo dominar o quociente por uma constante vezes
, e como
o produto vai a zero. Essa é uma técnica comum em limites de funções de duas variáveis: fatorar, identificar pontos onde o denominador poderia anular-se e trabalhar numa vizinhança onde isso não acontece, então controlar a expressão por algo que tende a zero.
Resposta
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