Determine o limite, se existir, ou mostre que o
\lim _{(x, y) \rightarrow 0,0} \frac{x y-y}{(x-1)^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, da função
\frac{x y - y}{(x-1)^{2} + y^{2}}
quando (x,y) \rightarrow (0,0).
Informações dadas:
\text{Função } f(x,y)=\frac{x y - y}{(x-1)^{2} + y^{2}}.çã
Pergunta: existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)?
Se existir, qual é o valor desse limite?

Passo 2

Primeiro, simplifico a expressão do numerador para ver a estrutura da função. Fatorando y no numerador obtenho:
x y - y = y(x-1).
Portanto posso escrever
f(x,y)=\frac{y(x-1)}{(x-1)^{2} + y^{2}}.
Essa forma é mais clara: o numerador é produto de y por (x-1), e o denominador é soma de quadrados.

Passo 3

Uma inspeção direta sugere um candidato para o limite. Quando (x,y)\to(0,0) temos y\to 0 e x-1\to -1. Então o numerador y(x-1)\to 0\cdot(-1)=0. O denominador (x-1)^{2}+y^{2}\to 1^{2}+0=1. Assim, por intuição, o quociente tende a
\frac{0}{1}=0.
Mas isso é apenas uma indicação; agora vamos provar rigorosamente que o limite realmente é 0.

Passo 4

Vou provar que f(x,y)\to 0 usando um argumento tipo epsilon–delta (controle por desigualdades). Quero mostrar que dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |f(x,y)|<\varepsilon.
Para fazer isso, primeiro garanto que, perto da origem, o denominador não fica pequeno (pois o denominador só é zero em (1,0), longe de (0,0)). Escolho
\delta_{0}=\tfrac{1}{2}.
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta_{0} então em particular |x|<\tfrac{1}{2} e |y|<\tfrac{1}{2}. Daí
|x-1|\ge 1-|x|>1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Como |x-1|>\tfrac{1}{2}, temos
(x-1)^{2}+y^{2}\ge \bigl(|x-1|\bigr)^{2}>\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}.
Agora uso essas desigualdades para controlar |f(x,y)|. Lembro que f(x,y)=\dfrac{y(x-1)}{(x-1)^{2}+y^{2}}, então
|f(x,y)|=\frac{|y|\,|x-1|}{(x-1)^{2}+y^{2}}.
Com a menor cota do denominador,
|f(x,y)|\le \frac{|y|\,|x-1|}{\tfrac{1}{4}} = 4|y|\,|x-1|.
Além disso, quando |x|<\tfrac{1}{2} vale
|x-1|\le 1+|x|<1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto, sob a condição \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta_{0},
|f(x,y)| \le 4|y|\cdot \tfrac{3}{2} = 6|y|.
Agora fica fácil: dado \varepsilon>0, escolha
\delta=\min\!\left(\tfrac{1}{2}, \frac{\varepsilon}{6}\right).
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |y|<\delta\le \varepsilon/6, e pela desigualdade anterior obtemos
|f(x,y)| \le 6|y| < 6\cdot\frac{\varepsilon}{6} = \varepsilon.
Isso prova, pelo critério epsilon–delta, que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 5

Comentário final e intuição prática para a prova: o truque principal foi notar a fatoração x y - y = y(x-1) e observar que o ponto problemático do denominador é (1,0), não o ponto de interesse (0,0). Assim, perto de (0,0) o denominador fica uniformemente afastado de zero, permitindo dominar o quociente por uma constante vezes |y|, e como y\to 0 o produto vai a zero. Essa é uma técnica comum em limites de funções de duas variáveis: fatorar, identificar pontos onde o denominador poderia anular-se e trabalhar numa vizinhança onde isso não acontece, então controlar a expressão por algo que tende a zero.

Resposta

0

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