Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaD y^2 d A, onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=2 x

Passo 1

O problema pede o cálculo da integral
integral duplaDy^2,dA
onde D é a região do primeiro quadrante entre os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=2x.
Conteúdo: mudança para coordenadas polares, usando
;x=rcostheta,;y=rsintheta,;dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
y^2=(rsintheta)^2=r^2sin^2theta, dA=r,dr,dtheta

Passo 3

Determinamos os limites de integração:
  • Primeiro quadrante implies 0<=theta<=pi2.
  • Círculo externo x^2+y^2=4implies r=2.
  • Círculo interno x^2+y^2=2ximplies r^2=2rcosthetaimplies r=2costheta (válido para costheta>=0).
    Logo em D temos
2costheta<= r<=2, 0<=theta<=pi2

Passo 4

A integral torna-se
integral duplaDy^2,dA =integral0^pi/2!integral2costheta^2(r^2sin^2theta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2!integral2costheta^2r^3sin^2theta,dr,dtheta

Passo 5

Integramos em r:
integral2costheta^2r^3sin^2theta,dr =sin^2theta[r^44]2costheta^2 =sin^2thetal(164-16cos^4theta4r) =4sin^2thetal(1-cos^4thetar)

Passo 6

Fatorando 1-cos^4theta=(1-cos^2theta)(1+cos^2theta)=sin^2theta(1+cos^2theta), obtemos
4sin^2theta(1-cos^4theta) =4sin^4theta,(1+cos^2theta)
Assim a integral em theta é
integral0^pi/24sin^4theta,(1+cos^2theta),dtheta =4l(integral0^pi/2sin^4theta,dtheta +integral0^pi/2sin^4thetacos^2theta,dthetar)

Passo 7

Usando fórmulas padrões:
integral0^pi/2sin^4theta,dtheta=3pi16, integral0^pi/2sin^4thetacos^2theta,dtheta=pi32
Logo
4l(tfrac3pi16+tfracpi32r) =4cdot7pi32 =7pi8

Resposta

7pi8

Exercícios relacionados