Encontre as assíntotas verticais e horizontais, usando limites, da seguinte função:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites e análise de gráficos de funções. Para isso, vamos precisar calcular limites específicos que nos ajudarão a identificar onde a função se comporta de maneira assintótica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é igual a zero (pois isso faz com que a fração se torne indefinida). Vamos resolver
:
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas posições realmente são assíntotas verticais. Para isso, calculamos o limite da função quando
se aproxima de 2 e de -2.
Para
:
O resultado indeterminado sugere que podemos simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador:
E o denominador já está fatorado:
Simplificando, temos:
Agora, calculamos o limite novamente:
Como o limite é finito,
não é uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível (buraco).
Para
:
O denominador se aproxima de zero, e o numerador é diferente de zero, o que indica que a função tende ao infinito. Portanto,
é uma assíntota vertical.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando
tende ao infinito ou menos infinito. Vamos calcular:
Dividimos numerador e denominador por
:
Então, a assíntota horizontal é
.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.