Encontre as assíntotas verticais e horizontais, usando limites, da seguinte função:
f(x)=x^2-2 xx^2-4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função f(x) = x^2-2xx^2-4 . Isso está dentro do conteúdo de cálculo de limites e análise de gráficos de funções. Para isso, vamos precisar calcular limites específicos que nos ajudarão a identificar onde a função se comporta de maneira assintótica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde a função tende ao infinito, geralmente onde o denominador é igual a zero (pois isso faz com que a fração se torne indefinida). Vamos resolver x^2 - 4 = 0 :
x^2 - 4 = 0 implies x^2 = 4 implies x = pm 2
Então, as possíveis assíntotas verticais estão em x = 2 e x = -2 .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas posições realmente são assíntotas verticais. Para isso, calculamos o limite da função quando x se aproxima de 2 e de -2.
Para x to 2 :
limx to 2 x^2-2xx^2-4 = limx to 2 (2)^2 - 2(2)(2)^2 - 4 = 4 - 44 - 4 = 00
O resultado indeterminado sugere que podemos simplificar a expressão. Vamos fatorar o numerador:
x^2 - 2x = x(x - 2)
E o denominador já está fatorado:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Simplificando, temos:
f(x) = x(x - 2)(x - 2)(x + 2) = xx + 2 para x neq 2
Agora, calculamos o limite novamente:
limx to 2 xx + 2 = 24 = 12
Como o limite é finito, x = 2 não é uma assíntota vertical, mas sim um ponto removível (buraco).
Para x to -2 :
limx to -2 xx + 2 = -20
O denominador se aproxima de zero, e o numerador é diferente de zero, o que indica que a função tende ao infinito. Portanto, x = -2 é uma assíntota vertical.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem quando x tende ao infinito ou menos infinito. Vamos calcular:
limx to infty x^2-2xx^2-4
Dividimos numerador e denominador por x^2 :
limx to infty 1 - 2x1 - 4x^2 = 1 - 01 - 0 = 1
Então, a assíntota horizontal é y = 1 .

Resposta

A função f(x) = x^2-2xx^2-4 possui uma assíntota vertical em x = -2 e uma assíntota horizontal em y = 1 .

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