2-
Considere a intersecção do elipsóide
com o semi-plano dado por
O volume desta interseção é da forma
para algum inteiro
. Qual o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsóide definido pela equação
e estamos interessados na interseção desse elipsóide com o semi-plano
. Queremos descobrir o volume dessa interseção, que está na forma
, onde
é um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de elipsóides e como calcular volumes de regiões definidas por equações e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação do elipsóide na forma padrão. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por 3660 para facilitar, temos:
Assim, identificamos que os semi-eixos do elipsóide são:
Passo 3
Sabendo os semi-eixos, podemos calcular o volume total do elipsóide usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Observando que
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos considerar a interseção do elipsóide com o semi-plano
. Esse semi-plano passa pela origem (quando
), então ele divide o elipsóide em duas partes iguais. Isso significa que o volume da interseção será exatamente metade do volume total do elipsóide.
Passo 5
Calculando metade do volume total: