2-
Considere a intersecção do elipsóide
60 x^2+61 y^2+z^2=3660
com o semi-plano dado por
x+y+2 z>0
O volume desta interseção é da forma N pi para algum inteiro N. Qual o valor de N ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um elipsóide definido pela equação 60x^2 + 61y^2 + z^2 = 3660 e estamos interessados na interseção desse elipsóide com o semi-plano x + y + 2z > 0. Queremos descobrir o volume dessa interseção, que está na forma Npi, onde N é um número inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de elipsóides e como calcular volumes de regiões definidas por equações e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação do elipsóide na forma padrão. A equação dada é:
60x^2 + 61y^2 + z^2 = 3660
Dividindo ambos os lados por 3660 para facilitar, temos:
x^261 + y^260 + z^23660 = 1
Assim, identificamos que os semi-eixos do elipsóide são:
a = raiz61, b = raiz60, c = raiz3660

Passo 3

Sabendo os semi-eixos, podemos calcular o volume total do elipsóide usando a fórmula:
V = 43pi a b c
Substituindo os valores:
V = 43pi times raiz61 times raiz60 times raiz3660
Observando que 3660 = 61 times 60, temos:
raiz3660 = raiz61 times 60 = raiz61 times raiz60
Portanto:
V = 43pi times raiz61 times raiz60 times raiz61 times raiz60 = 43pi times 61 times 60 = 43pi times 3660 = 4880pi

Passo 4

Agora, precisamos considerar a interseção do elipsóide com o semi-plano x + y + 2z > 0. Esse semi-plano passa pela origem (quando x = y = z = 0), então ele divide o elipsóide em duas partes iguais. Isso significa que o volume da interseção será exatamente metade do volume total do elipsóide.

Passo 5

Calculando metade do volume total:
Vinterseção = 4880pi2 = 2440pi çã

Resposta

N = 2440

Exercícios relacionados