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Considere o elipsóide de equação
& (854) x^2+(588) x y+(-504) x z+(259) y^2 & +(84) y z+(602) z^2=1848^2
ou, em notação matricial,
(lllx & y & z)(ccc854 & 294 & -252 294 & 259 & 42 -252 & 42 & 602)(lx y z)=1848^2
O volume deste elipsóide é da forma N pi para algum número inteiro N. Qual o valor de N ?
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elipsóide definido por uma equação quadrática e quer saber o volume desse elipsóide na forma Npi , onde N é um número inteiro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do volume de um elipsóide e o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a equação geral de um elipsóide pode ser escrita de forma matricial como:
x^T A x = c^2
onde A é uma matriz simétrica e c é uma constante. O volume V desse elipsóide é dado por:
V = 43 pi c^3raizdet(A)
Então, para encontrar N, precisamos calcular o determinante da matriz A e substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A:
A = 854 & 294 & -252 294 & 259 & 42 -252 & 42 & 602
O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso:
det(A) = 854(259 cdot 602 - 42 cdot 42) - 294(294 cdot 602 - (-252) cdot 42) + (-252)(294 cdot 42 - 259 cdot (-252))
Fazendo as contas:
det(A) = 854(155918 - 1764) - 294(176988 + 10584) - 252(12348 + 65268) = 56,942,116

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula do volume:
V = 43 pi 1848^3raiz56,942,116
Calculando 1848^3:
1848^3 = 6,311,112,192
Então:
V = 43 pi 6,311,112,192raiz56,942,116 approx Npi
Para simplificar, calculamos raiz56,942,116 que dá aproximadamente 7,550.

Passo 5

Finalmente, calculamos N:
N = 43 times 6,311,112,1927,550 approx 25,244,448,7687,550 approx 3,347,800
Arredondando para um número inteiro.

Resposta

O valor de N é aproximadamente 3.347.800.

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