Resolva os seguintes PVI usando a transformada de Laplace:
y^{\prime}-5 y=0, onde y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'(t)-5y(t)=0,
com a condição inicial
y(0)=2.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem linear homogênea.
  • A condição inicial é o valor de y em t=0: y(0)=2.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e notação usada.
Definição: para uma função f(t) definida para t\ge0, sua transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde:
  • t é a variável original (geralmente “tempo”),
  • s é a variável complexa (frequência complexa) na qual vai ficar a transformada.
    A transformada converte uma função de t numa função de s. No nosso método, aplicamos \mathcal{L}\{\cdot\} à equação diferencial para transformá‑la numa equação algébrica em s.

Passo 3

Propriedade importante: transformada da derivada de primeira ordem.
Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então vale
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Breve derivação (integração por partes) para entender de onde vem: tomando \mathcal{L}\{y'\}=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt e aplicando integração por partes com u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt, obtém‑se exatamente sY(s)-y(0). Essa fórmula é fundamental porque introduz a condição inicial y(0) na equação transformada.

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace à equação dada.
Transformando ambos os lados de \;y'(t)-5y(t)=0\; obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)-5\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=0.
Substituindo a propriedade da derivada e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), temos
\big(sY(s)-y(0)\big)-5Y(s)=0.
Agora substitui a condição inicial y(0)=2:
sY(s)-2-5Y(s)=0.

Passo 5

Resolver a equação algébrica para Y(s).
Agrupando termos com Y(s):
(s-5)Y(s)-2=0.
Isolando Y(s):
(s-5)Y(s)=2 \quad\Rightarrow\quad Y(s)=\frac{2}{s-5}.

Passo 6

Encontrar y(t) fazendo a transformada inversa.
Usamos a transformada inversa conhecida:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}\quad\text{(para \(t\ge0\) e \(s\) na região de convergência)}.ãê
Aplicando linearidade e a transformada inversa a Y(s):
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s-5}\right\}(t)=2\,e^{5t}.

Passo 7

Verificação (sempre bom checar na prova).
Calcule y'(t) e substitua na equação original:
y(t)=2e^{5t}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=10e^{5t}.
Então
y'(t)-5y(t)=10e^{5t}-5\cdot2e^{5t}=10e^{5t}-10e^{5t}=0,
e a condição inicial:
y(0)=2e^{0}=2,
ou seja, tudo confere. Bom trabalho — você tem a solução correta e verificada!

Resposta

y(t)=2e^{5t}

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