Resolva os seguintes PVI usando a transformada de Laplace:
, onde
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial (PVI)
com a condição inicial
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem linear homogênea.
- A condição inicial é o valor de
em : .
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e a condição inicial, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e notação usada.
Definição: para uma função definida para
, sua transformada de Laplace é
Definição: para uma função
onde:
-
é a variável original (geralmente “tempo”), -
é a variável complexa (frequência complexa) na qual vai ficar a transformada.
A transformada converte uma função denuma função de . No nosso método, aplicamos à equação diferencial para transformá‑la numa equação algébrica em .
Passo 3
Propriedade importante: transformada da derivada de primeira ordem.
Se , então vale
Se
Breve derivação (integração por partes) para entender de onde vem: tomando
e aplicando integração por partes com
e
, obtém‑se exatamente
. Essa fórmula é fundamental porque introduz a condição inicial
na equação transformada.
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace à equação dada.
Transformando ambos os lados de obtemos
Transformando ambos os lados de
Substituindo a propriedade da derivada e escrevendo
, temos
Agora substitui a condição inicial
:
Passo 5
Resolver a equação algébrica para
.
Agrupando termos com :
Agrupando termos com
Isolando
:
Passo 6
Encontrar
fazendo a transformada inversa.
Usamos a transformada inversa conhecida:
Usamos a transformada inversa conhecida:
Aplicando linearidade e a transformada inversa a
:
Passo 7
Verificação (sempre bom checar na prova).
Calcule e substitua na equação original:
Calcule
Então
e a condição inicial:
ou seja, tudo confere. Bom trabalho — você tem a solução correta e verificada!