Calcule a integral dada, utilizando em coordenadas cilíndricas (ou coordenada polar depois de integrar em z primeiro).
integral triplaE(x+y) d V
onde E é o sólido que está entre 2 <= z <= 5 e a esquerda do eixo y (y >= 0) e entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral triplaE(x+y),dV onde E é o sólido definido por 2<= z<=5, y>=0 (acima do eixo x) e entre as curvas x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, em que vamos usar x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a região no plano (x,y) fica com 1<= r<=2 e 0<=theta<=pi (para garantir y=rsintheta>=0), e z varia de 2 a 5. Assim montamos a integral
integraltheta=0^piintegralr=1^2integralz=2^5(x+y),r,dz,dr,dtheta = integral0^piintegral1^2integral2^5l(rcostheta +rsinthetar)r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z, que é trivial porque o integrando não depende de z. O resultado é $ (5-2),r2(\cos\theta+\sin\theta)=3r2(\cos\theta+\sin\theta)$.
A seguir integramos em (5-2),r^2(costheta+sintheta)=3r^2(costheta+sintheta):
r

Passo 4

Por fim integramos em theta:
integral0^pi7(costheta+sintheta),dtheta =7l[sintheta-costhetar]0^pi =7l[(0-(-1))-(0-1)r]=7cdot2=14

Resposta

14

Exercícios relacionados