Calcule a integral dada, utilizando em coordenadas cilíndricas (ou coordenada polar depois de integrar em z primeiro).
onde
é o sólido que está entre
e a esquerda do eixo y
e entre as circunferências
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular
onde
é o sólido definido por
,
(acima do eixo
) e entre as curvas
e
. O conteúdo é mudança para coordenadas cilíndricas, em que vamos usar
,
e o elemento de volume é
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a região no plano
fica com
e
(para garantir
), e
varia de 2 a 5. Assim montamos a integral
Passo 3
Primeiro integramos em
, que é trivial porque o integrando não depende de
. O resultado é $ (5-2),r2(\cos\theta+\sin\theta)=3r2(\cos\theta+\sin\theta)$.
A seguir integramos em :
A seguir integramos em
Passo 4
Por fim integramos em
:
Resposta
14