Utilize coordenadas esféricas para calcular
integral triplaE(raizx^2+y^2+z^2) d V
, onde E está entre as esferas x^2+y^2+z^2 <= 1 e x^2+y^2+z^2 <= 4.

Passo 1

O exercício pede para calcular o triplo integral integral triplaEraizx^2+y^2+z^2,dV, onde a região E está entre as esferas x^2+y^2+z^2<=1 e x^2+y^2+z^2<=4. O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, e vamos precisar da expressão de dV e das transformações x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, a distância ao ponto (x,y,z) é rho=raizx^2+y^2+z^2. O elemento de volume é dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Como raizx^2+y^2+z^2=rho, o integrando se torna rhocdotrho^2sinphi=rho^3sinphi.
O intervalo de integração para rho é de 1 até 2 (entre as esferas de raio 1 e 2), para phi vai de 0 a pi e para theta de 0 a 2pi. Assim montamos:
integral triplaE raizx^2+y^2+z^2,dV = integral0^2pi!integral0^pi!integral1^2 rho^3sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Primeiro calculamos a parte angular:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pisinphi,dphi = 2,
logo o fator angular total é 2pitimes2=4pi.
Agora a parte radial:
integral1^2rho^3,drho = rho^44|1^2 = 16-14 = 154

Passo 4

Multiplicando o angular pelo radial: 4pi times tfrac154 = 15pi.

Resposta

15\pi

Exercícios relacionados