Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
integral triplaE(x-y) d V
, onde E é o sólido e que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=16, acima do plano xy e abaixo do plano z=y+x+8.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaE(x-y),dV, onde E é o sólido limitado pelos cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=16, pelo plano z=0 e pelo plano z=x+y+8. Vamos usar coordenadas cilíndricas para resolver isso.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta e dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

O sólido em coordenadas cilíndricas fica descrito por
1<= r<=4, 0<=theta<=2pi, 0<= z<= r(costheta+sintheta)+8

Passo 4

O integrando x-y vira r(costheta-sintheta). Logo a integral tripla é
integral0^2piintegral1^4integral0^r(costheta+sintheta)+8r(costheta-sintheta);r,dz,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em z, que só aparece nos limites. Isso dá um fator r(costheta-sintheta) vezes o comprimento do intervalo em z:
integral0^r(costheta+sintheta)+8dz=r(costheta+sintheta)+8
Então a integral reduz a
integral0^2piintegral1^4r^2(costheta-sintheta)l[r(costheta+sintheta)+8r]dr,dtheta

Passo 6

Expandindo o integrando em funções de theta e integrando em r:
r^2l[r(costheta+sintheta)+8r]=r^3(costheta+sintheta)+8r^2,
logo
integral1^4l[r^3(costheta+sintheta)+8r^2r]dr =(costheta+sintheta)4^4-14+8cdot21 = rac2554(costheta+sintheta)+168

Passo 7

Agora a integral em theta fica
integral0^2pi[2554(costheta+sintheta)(costheta-sintheta)+168(costheta-sintheta)]dtheta
Observando que (costheta+sintheta)(costheta-sintheta)=cos2theta e que as integrais de cos2theta, costheta e sintheta sobre [0,2pi] são todas zero, concluímos que toda a integral é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados