O cilindro deitado no eixo x é dado por x^2+(y-R)^2=R^2 e 0 <= z <= h.
(0.75) Cácule o volume usando integral tripla.
Dica: Integre em z primeiro e depois faça a seguinte mudança de coordenadas x=u, y=v+R e depois aplique coordenadas polares.

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem um cilindro deitado ao longo do eixo x definido pela equação x^2 + (y - R)^2 = R^2 e limitado entre z = 0 e z = h. O objetivo é calcular o volume usando integral tripla, fazendo primeiro a integração em z, depois a mudança de variáveis x = u, y = v + R e, por fim, coordenadas polares.

Passo 2

Para montar a integral tripla, lembramos que o volume é dado por V = integral triplaV dV. Como z vai de 0 a h e a seção transversal em (x,y) é o disco x^2 + (y - R)^2 <= R^2, temos:
V = integralsubstackx^2+(y-R)^2<= R^2 l(integralz=0^h dzr) dAxy = integralsubstackx^2+(y-R)^2<= R^2 h,dAxy

Passo 3

Agora fazemos a mudança de variáveis x = u, y = v + R. Nesse sistema, a região fica u^2 + v^2 <= R^2 e o jacobiano dessa transformação é 1, pois dx,dy = du,dv. Assim:
V = h integralu^2+v^2<= R^2 du,dv

Passo 4

Em seguida, usamos coordenadas polares no plano (u,v):
u = rcostheta, v = rsintheta, rin[0,R],; thetain[0,2pi], com jacobiano du,dv = r,dr,dtheta. A integral vira:
V = h integraltheta=0^2pi integralr=0^R r,dr,dtheta

Passo 5

Agora só calcular: primeiro a integral em r:
integral0^R r,dr = R^22, depois em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi Multiplicando tudo, obtemos V = h times R^22 times 2pi = pi R^2 h.

Resposta

V = pi R^2 h

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