Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral ln(5x)x,dx e depois verificar se o resultado está correto derivando. O conteúdo envolve propriedades de logaritmos, integração de funções simples e verificação pelo cálculo da derivada.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo ln(5x)=ln5+ln x para simplificar o integrando.
Separamos a integral em duas partes: integral ln(5x)x,dx=integral ln5x,dx+integral ln xx,dx

Passo 3

Calculamos a primeira parte usando constante em evidência: integral ln5x,dx=ln5integral 1x,dx=ln5,ln|x|
Para a segunda parte, fazemos a substituição u=ln|x|, logo du=tfracdxx. Assim integral ln xx,dx=integral u,du=u^22=(ln|x|)^22

Passo 4

Juntando tudo e somando a constante de integração C, obtemos F(x)=ln5,ln|x|+(ln|x|)^22+C

Passo 5

Agora, para checar, derivamos F(x): usando a regra do produto em ln5,ln|x| e a regra da cadeia em (ln|x|)^2/2, encontramos F'(x)=ln5x+ln|x|x=ln5+ln|x|x=ln(5x)x, que coincide com o integrando original.

Resposta

ln5,ln|x|+tfrac(ln|x|)^22+C

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