Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^2 x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral1^2 x^3,dx usando a definição de integral pelo Teorema 4, ou seja, via soma de Riemann. Vamos precisar montar uma partição de [1,2], definir pontos de amostragem, montar a soma de Riemann e tirar o limite quando o número de subintervalos n tende a infinito.

Passo 2

Dividimos o intervalo [1,2] em n subintervalos de mesma largura. A largura de cada subintervalo é
De
Como ponto de amostragem, escolhemos o extremo direito de cada subintervalo. Assim, o i-ésimo ponto é
xi^* = 1 + in, i = 1,2,dots,n

Passo 3

A soma de Riemann associada é
Sn = sumi=1^n f(xi^*),De

Passo 4

Expandindo o cubo temos
l(1 + inr)^3 = 1 + 3in + 3i^2n^2 + i^3n^3
Logo,
Sn = 1n sumi=1^n l[1 + 3in + 3i^2n^2 + i^3n^3r]

Passo 5

Usando as somas conhecidas:
sumi=1^n i = n(n+1)2, sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6, sumi=1^n i^3 = l(n(n+1)2r)^2,
obtemos, após agrupar termos e simplificar,
Sn = 154 + 72n + 34n^2

Passo 6

Para finalizar, tomamos o limite quando n to infty:
limntoinfty Sn = 154

Resposta

154

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