Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^2(2-x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de 2 - x^2 de 0 a 2 usando a definição de integral que foi apresentada no Teorema 4. Então, estamos lidando com cálculo integral aqui, e vamos precisar entender como aplicar a definição de integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Segundo o Teorema 4, a integral definida de uma função f(x) de a a b é o limite da soma de Riemann quando o número de subdivisões tende ao infinito. Mas, de forma mais prática, sabemos que para funções polinomiais como 2 - x^2, podemos encontrar a antiderivada e calcular a diferença entre os valores dessa antiderivada nos limites de integração.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de 2 - x^2. A antiderivada de 2 em relação a x é 2x, e a antiderivada de -x^2 é -x^33. Então, a antiderivada de 2 - x^2 é:
F(x) = 2x - x^33 + C
Onde C é a constante de integração, que vamos ignorar aqui porque estamos fazendo uma integral definida.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Vamos substituir F(x) e os limites de integração:
integral0^2 (2 - x^2) dx = [2(2) - (2)^33] - [2(0) - (0)^33]

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para x = 2:
2(2) - 2^33 = 4 - 83 = 123 - 83 = 43
Para x = 0:
2(0) - 0^33 = 0 - 0 = 0

Passo 6

Agora, subtraímos os resultados:
43 - 0 = 43

Resposta

A integral integral0^2(2 - x^2) dx é igual a 43.

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