Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integrall(x^1/3-3x^-2/3+6r),dx e em seguida verificar se o resultado está correto derivando-o. O conteúdo envolvido é a integração de funções potência, usando a regra integral x^n,dx=x^n+1n+1+C.

Passo 2

Vamos aplicar a integração termo a termo. Primeiro, separamos a integral:
integrall(x^1/3-3x^-2/3+6r),dx =integral x^1/3,dx -3integral x^-2/3,dx +integral 6,dx
Agora, calculamos cada parte:
integral x^1/3,dx = x^4/34/3 = 34x^4/3, integral x^-2/3,dx = x^1/31/3 = 3x^1/3, integral 6,dx = 6x
Substituindo na expressão geral, obtemos
integrall(x^1/3-3x^-2/3+6r),dx = 34x^4/3 -3l(3x^1/3r) +6x +C = 34x^4/3 -9x^1/3 +6x +C

Passo 3

Para verificar, derivamos o resultado e conferimos se recuperamos o integrando original. Seja
F(x)=34x^4/3 -9x^1/3 +6x +C
Então
F'(x)=34cdot43x^1/3 -9cdottfrac13x^-2/3 +6 = x^1/3 -3x^-2/3 +6,
que é exatamente o integrando dado. A verificação está correta.

Resposta

34x^4/3 -9x^1/3 +6x +C

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