resolver sistema de equação diferencial pelo Método por eliminação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um sistema de equações diferenciais onde cada derivada de uma variável depende das outras duas. O conteúdo principal é Equações Diferenciais Lineares e vamos usar o Método de Eliminação para resolver esse sistema. Vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis e simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
A ideia do Método de Eliminação é combinar essas equações de forma a eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução.
Passo 3
Vamos começar subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar $ z $:
Rearranjando, temos:
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo subtraindo a terceira equação da segunda:
Rearranjando novamente:
Passo 5
Observamos que:
Isso significa que todas essas expressões são iguais a uma mesma função $ C(t) $. Para simplificar, vamos igualar todas a zero, assumindo soluções homogêneas:
Passo 6
Cada uma dessas equações é uma equação diferencial linear simples. Vamos resolver uma delas, já que todas têm a mesma forma. Por exemplo:
A solução geral para essa equação é:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 7
Como todas as variáveis têm a mesma forma de solução, temos:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais pelo Método de Eliminação é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.