resolver sistema de equação diferencial pelo Método por eliminação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos um sistema de equações diferenciais onde cada derivada de uma variável depende das outras duas. O conteúdo principal é Equações Diferenciais Lineares e vamos usar o Método de Eliminação para resolver esse sistema. Vamos precisar manipular as equações para eliminar variáveis e simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
l dxdt = y + z dydt = x + z dzdt = x + y
A ideia do Método de Eliminação é combinar essas equações de forma a eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução.

Passo 3

Vamos começar subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar $ z $:
z
Rearranjando, temos:
dxdt - dydt = (y + z) - (x + z) dxdt - dydt = y - x

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo subtraindo a terceira equação da segunda:
dydt - dzdt = (x + z) - (x + y) dydt - dzdt = z - y
Rearranjando novamente:
dydt + y = dzdt + z

Passo 5

Observamos que:
dxdt + x = dydt + y = dzdt + z
Isso significa que todas essas expressões são iguais a uma mesma função $ C(t) $. Para simplificar, vamos igualar todas a zero, assumindo soluções homogêneas:
C(t)

Passo 6

Cada uma dessas equações é uma equação diferencial linear simples. Vamos resolver uma delas, já que todas têm a mesma forma. Por exemplo:
dxdt + x = 0
A solução geral para essa equação é:
x(t) = C e^-t
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 7

Como todas as variáveis têm a mesma forma de solução, temos:
x(t) = C1 e^-t y(t) = C2 e^-t z(t) = C3 e^-t
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais pelo Método de Eliminação é:
x(t) = C1 e^-t, y(t) = C2 e^-t, z(t) = C3 e^-t
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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