Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integrall(1x^2-1x^3r),dx e depois verificar o resultado derivando-o. O conteúdo principal é integração de potências de x, usando a fórmula integral x^n,dx=x^n+1n+1+C para nneq -1.

Passo 2

Começamos reescrevendo a integral em potências de x:
integrall(x^-2-x^-3r),dx
Agora aplicamos a regra de potência termo a termo.

Passo 3

Para x^-2 temos n=-2 e para x^-3 temos n=-3. Logo:
integral x^-2,dx=x^-1-1= -x^-1,
integral x^-3,dx=x^-2-2= -tfrac12,x^-2
Mas na integral original o segundo termo tem sinal negativo, então:
-integral x^-3,dx = -l(-tfrac12,x^-2r)=+tfrac12,x^-2
Somando tudo, obtemos
-x^-1+tfrac12,x^-2+C

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x)=-x^-1+tfrac12,x^-2:
F'(x)=(-1)cdot(-1)x^-2+tfrac12cdot(-2)x^-3=x^-2-x^-3,
o que coincide com o integrando original. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

-tfrac1x+tfrac12x^2+C

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