Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral(3t^2 - raiz5t + 2),dt e depois verificar o resultado derivando a primitiva encontrada. O assunto é integral indefinida usando a regra da potência, e iremos usar também a verificação pela derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o integrando em potências de t. Note que raiz5t=raiz5,t^1/2. Assim, o integrando fica
3t^2 - raiz5t + 2 = 3t^2 - raiz5,t^1/2 + 2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para integrais: integral t^n,dt = t^n+1n+1 + C. Vamos integrar termo a termo:
  • integral 3t^2,dt = 3 cdot t^33 = t^3
  • integral -raiz5,t^1/2,dt = -raiz5 cdot t^3/23/2 = -2raiz53,t^3/2
  • integral 2,dt = 2t

Passo 4

Somando as primitivas de cada termo, obtemos a primitiva geral
F(t) = t^3 - 2raiz53,t^3/2 + 2t + C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(t):
F'(t) = ddtl(t^3r) - 2raiz53 ddtl(t^3/2r) + ddt(2t)
Usando ddtt^n = nt^n-1, temos
F'(t) = 3t^2 - 2raiz53 cdot 32t^1/2 + 2 = 3t^2 - raiz5,t^1/2 + 2 = 3t^2 - raiz5t + 2,
que coincide com o integrando original.

Passo 6

Como a derivada de F(t) retorna exatamente o integrando, o cálculo está correto.

Resposta

t^3 - 2raiz53,t^3/2 + 2t + C

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