Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integrall(3raiz y - 2y^-3r),dy e depois verificar o resultado derivando a primitiva encontrada. O conteúdo é integração de funções potência e a aplicação da regra da diferenciação para checar o resultado.

Passo 2

Para integrar integrall(3y^1/2 - 2y^-3r),dy, separamos em duas integrais: integral 3y^1/2,dy e integral -2y^-3,dy.
Aplicando a regra da potência na primeira integral: integral 3y^1/2,dy = 3cdot y^3/23/2 = 2y^3/2

Passo 3

Aplicando a regra da potência na segunda integral: integral -2y^-3,dy = -2cdot y^-2-2 = y^-2

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva: 2y^3/2 + y^-2 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos 2y^3/2 + y^-2 + C. Pela regra da potência temos tfracddy(2y^3/2) = 2cdottfrac32y^1/2 = 3y^1/2 e tfracddy(y^-2) = -2y^-3. Somando, reaparece o integrando 3y^1/2 - 2y^-3, confirmando o cálculo.

Resposta

2y^3/2 + y^-2 + C

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