Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

A integral que temos é integrall(tfrac12y-tfrac2y^2+tfrac3raizyr)dy. O conteúdo principal aqui é integração de potências de y e de 1/y. Para resolver, vamos usar as regras: integral y^n dy = y^n+1/(n+1)+C (quando nneq -1) e integral 1ydy = ln|y|+C.

Passo 2

Primeiro passo é reescrever cada termo como potência de y. Assim,
12y-2y^2+3raizy=12y^-1-2y^-2+3y^-1/2

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando as fórmulas:
integral12y^-1dy=12ln|y|,integral(-2y^-2)dy=-2cdoty^-1-1=2y^-1=2y,integral3y^-1/2dy=3cdoty^1/21/2=6y^1/2=6raizy

Passo 4

Somando os resultados temos a primitiva
F(y)=12ln|y|+2y+6raizy+C

Passo 5

Para checar, derivamos F(y):
F'(y)=12cdot1y-2y^-2+6cdot12y^-1/2=12y-2y^2+3raizy, que bate exatamente com o integrando original, confirmando que está correto.

Resposta

F(y)=\tfrac12\ln|y|+\tfrac{2}{y}+6\sqrt{y}+C

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