Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integrall(tfrace^x2+xraizxr),dx. Isso envolve o conteúdo de antiderivadas, usando a linearidade de integrais e a regra de potência em integração.

Passo 2

Pela linearidade, podemos separar a integral em duas partes:
integrall(tfrace^x2+xraizxr),dx =integraltfrace^x2,dx+integral xraizx,dx

Passo 3

Na primeira parte, fatoramos tfrac12 e usamos que integral e^x,dx=e^x:
integraltfrace^x2,dx =tfrac12integral e^x,dx =tfrac12e^x

Passo 4

Na segunda, simplificamos xraizx=xcdot x^1/2=x^3/2 e aplicamos a regra de potência integral x^p,dx=tfracx^p+1p+1:
integral xraizx,dx =integral x^3/2,dx =x^5/25/2 =tfrac25x^5/2

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração, obtemos a antiderivada geral:
F(x)=tfrace^x2+tfrac25x^5/2+C

Passo 6

Para verificar, derivamos F(x): a derivada de tfrace^x2 é tfrace^x2 e a de tfrac25x^5/2 é tfrac25cdottfrac52x^3/2=x^3/2. Logo:
F'(x)=tfrace^x2+x^3/2 e isso coincide com o integrando tfrace^x2+xraizx, confirmando que o cálculo está correto.

Resposta

tfrace^x2+tfrac25x^5/2+C

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