Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral (2x+6)^5 , dx
que é um caso de integral de função composta. O tópico é integração por substituição, pois a derivada da expressão interna 2x+6 é uma constante.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2x+6,
então
du = 2,dx
e
dx = du2

Passo 3

Substituímos na integral:
integral (2x+6)^5 , dx = integral u^5 cdot du2 = 12 integral u^5 , du

Passo 4

Calculamos a integral de u^5:
12 integral u^5 , du = 12 cdot u^66 + C = u^612 + C

Passo 5

Retornamos à variável original substituindo u = 2x+6:
(2x+6)^612 + C

Passo 6

Verificamos derivando o resultado. Seja
F(x) = (2x+6)^612
Aplicando a regra da cadeia:
F'(x) = 6 (2x+6)^5 cdot 212 = (2x+6)^5,
que é exatamente o integrando. Logo, o resultado está correto.

Resposta

(2x+6)^612 + C

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