Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
integral-e^x^2^e^x cos ^2(t) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=integral-e^x^2^e^x cos^2(t),dt. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) para integrais com limites que dependem de x e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo FTC com limites variáveis, se f(x)=integrala(x)^b(x)F(t),dt então
$$f’(x)=F\bigl(b(x)\bigr),b’(x);-
F\bigl(a(x)\bigr),a’(x).$$
Aqui temos f'(x)=Fl(b(x)r),b'(x);- Fl(a(x)r),a'(x), limite superior F(t)=cos^2(t) com b(x)=e^x, e limite inferior b'(x)=e^x com a(x)=-e^x^2.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
$$f’(x)=\cos{2}\bigl(e{x}\bigr)\cdot e^{x}
-\cos{2}\bigl(-e{x^{2}}\bigr)\cdot(-2x e{x{2}}).$$

Passo 4

Como cos^2(t) é função par, cos^2(-e^x^2)=cos^2(e^x^2). Logo:
$$f’(x)=e{x}\cos{2}(e^{x})+2x e{x{2}}\cos{2}(e{x^{2}}).
$$

Resposta

f'(x)=e^xcos^2(e^x)+2x e^x^2cos^2(e^x^2)

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