Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) para integrais com limites que dependem de
e a regra da cadeia.
Passo 2
Pelo FTC com limites variáveis, se
então
$$f’(x)=F\bigl(b(x)\bigr),b’(x);-
F\bigl(a(x)\bigr),a’(x).$$
Aqui temos , limite superior
com
, e limite inferior
com
.
Aqui temos
Passo 3
Substituindo na fórmula:
$$f’(x)=\cos{2}\bigl(e{x}\bigr)\cdot e^{x}
-\cos{2}\bigl(-e{x^{2}}\bigr)\cdot(-2x e{x{2}}).$$
Passo 4
Como
é função par,
. Logo:
$$f’(x)=e{x}\cos{2}(e^{x})+2x e{x{2}}\cos{2}(e{x^{2}}).
$$