Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral e^5x+3,dx e depois verificar o resultado derivando-o. O conteúdo envolve integrais de funções exponenciais e vamos usar substituição simples para resolver.

Passo 2

Vamos usar a técnica de substituição: definimos u = 5x + 3. Então, ao derivar, temos du = 5,dx, ou seja, dx = du5.
Substituindo na integral original, obtemos:
integral e^5x+3,dx = integral e^u cdot du5 = 15integral e^u ,du

Passo 3

Agora integramos e^u em relação a u. Como integral e^u,du = e^u + C, temos
15integral e^u,du = 15e^u + C

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = 5x + 3 e chegamos a
15e^5x+3 + C

Passo 5

Para verificar, derivamos F(x) = 15e^5x+3 + C:
F'(x) = 15 cdot e^5x+3 cdot 5 = e^5x+3, que coincide com o integrando original. Portanto, o cálculo está correto.

Resposta

15e^5x+3 + C

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