Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz4x-1,dx e depois verificar o resultado derivando-o. O conteúdo envolvido é integração por substituição e regra de potência para integrais.

Passo 2

Definimos a substituição u = 4x - 1. Dessa forma, du = 4,dx, ou seja, dx = tfracdu4. A integral se transforma em:
integral raiz4x-1,dx = integral raizu,du4 = 14integral u^1/2,du

Passo 3

Para integrar 14integral u^1/2,du, aplicamos a regra de potência: integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 + C. Aqui n=1/2, então:
14integral u^1/2,du = 14cdot u^3/23/2 + C = 16u^3/2 + C
Voltando a x:
16(4x-1)^3/2 + C

Passo 4

Para verificar, derivamos o resultado. Seja F(x)=tfrac16(4x-1)^3/2+C. Usando a regra da cadeia:
F'(x)=16cdot 32(4x-1)^1/2cdot 4 = (4x-1)^1/2
Isso coincide com o integrando original, confirmando que o cálculo está correto.

Resposta

(4x-1)^3/26 + C

Exercícios relacionados