Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.
(\int \frac{x}{2 x+1} d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral integral x2x+1,dx e depois verificar a resposta derivando o resultado. O conteúdo envolvido é a integração de uma função racional, que vamos resolver usando divisão polinomial (ou decomposição) e regras de integral de constantes e de ln.

Passo 2

Dividindo o integrando: note que podemos escrever
x = 12(2x+1) - 12
Então
x2x+1 = 12 - 12(2x+1)

Passo 3

Integração termo a termo: aplicando as regras
integral x2x+1,dx = integral 12,dx - integral 12(2x+1),dx
Para o primeiro termo, integral tfrac12,dx = tfracx2. Para o segundo usamos integral 1ax+b,dx = 1aln|ax+b| + C, com a=2, logo
integral 12(2x+1),dx = 12 cdot 12 ln|2x+1| = 14ln|2x+1|

Passo 4

Resultado da integral: reunindo os termos,
integral x2x+1,dx = x2 - 14ln|2x+1| + C

Passo 5

Verificação por diferenciação: derivando F(x)=x2 - tfrac14ln|2x+1|
F'(x) = ddxl(x2r) - 14cdot ddxl(ln|2x+1|r) = 12 - 14cdot 22x+1 = 12 - 12(2x+1) = 2x+1 - 12(2x+1) = 2x2(2x+1) = x2x+1
Isso confirma o integrando original.

Resposta

x2 - 14ln|2x+1| + C

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