Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.
(\int \frac{x}{2 x+1} d x
(\int \frac{x}{2 x+1} d x
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral
e depois verificar a resposta derivando o resultado. O conteúdo envolvido é a integração de uma função racional, que vamos resolver usando divisão polinomial (ou decomposição) e regras de integral de constantes e de
.
Passo 2
Dividindo o integrando: note que podemos escrever
Então
Passo 3
Integração termo a termo: aplicando as regras
Para o primeiro termo,
. Para o segundo usamos
, com
, logo
Passo 4
Resultado da integral: reunindo os termos,
Passo 5
Verificação por diferenciação: derivando
Isso confirma o integrando original.