Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
e depois verificar se o nosso cálculo está correto derivando o resultado. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Integral e Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a antiderivada de uma função e como derivar para checar nosso resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar
. Nesta integral, o que está dentro é apenas
, o que implica que a função que estamos integrando é
, já que
é a forma geral.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de
em relação a
, precisamos encontrar uma função cuja derivada seja
. Sabemos que a derivada de
é
, então a antiderivada de
é
.
Portanto:
Aqui,
é a constante de integração, que sempre colocamos quando fazemos uma antiderivada porque há infinitas funções que diferem apenas por uma constante que têm a mesma derivada.
Passo 4
Para verificar se nosso cálculo está correto, vamos derivar o resultado que encontramos. Se ao derivar
obtermos
, então nosso cálculo está certo.
Calculando a derivada:
Como a derivada de
é realmente
, conferimos que nossa integral está correta.
Resposta
A integral de
é
, e ao derivar
, obtemos
, confirmando que o cálculo está correto.