Utilize coordenadas esféricas. Calcule integral tripla y^2 z^2 d V, onde E está acima do cone phi=pi / 3 e abaixo da esfera rho=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaE y^2 z^2 ,dV, onde E é a região limitada pela esfera rho=1 por cima do cone phi=pi/3. O conteúdo é integração múltipla em coordenadas esféricas; vamos precisar das expressões y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas a integral fica
integral triplaE y^2 z^2,dV = integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/3integralrho=0^1 (rhosinphisintheta)^2,(rhocosphi)^2,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Simplificando o integrando temos
y^2z^2,dV = rho^6sin^3phicos^2phisin^2theta,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Podemos separar em três integrais independentes:
integral0^1rho^6,drho ;times; integral0^pi/3sin^3phicos^2phi,dphi ;times; integral0^2pisin^2theta,dtheta

Passo 5

Calculando as integrais fáceis:
integral0^1rho^6,drho = 17, integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi

Passo 6

Para I=integral0^pi/3sin^3phicos^2phi,dphi fazemos u=sinphi, du=cosphi,dphi,\ o que leva a
I=integralu=0^raiz3/2u^3raiz1-u^2,du = 47480

Passo 7

Multiplicando tudo:
17times47480timespi = 47pi3360

Resposta

47pi3360

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