Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^2 y integral0^z+y 6 x y d z d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral iterada. Isso significa que temos que resolver uma integral tripla, ou seja, três integrais dentro umas das outras. O problema envolve cálculo multivariado, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e seguir os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais. A integral que temos é:
integral0^1 integral0^2 y integral0^z+y 6 x y , dz , dx , dy
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a z , depois em relação a x , e por último em relação a y .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z . A função a ser integrada é 6xy , que, em relação a z , é uma constante porque não depende de z .
integral0^z+y 6xy , dz = 6xy cdot z g|0^z+y = 6xy (z + y - 0) = 6xy(z + y)
Mas parece que houve um mal-entendido nos limites. Na verdade, o limite superior para z é z + y , o que não faz sentido. Vamos revisar os limites de integração.

Passo 4

Desculpe pelo erro! Vamos revisar os limites de integração corretamente.
A integral é:
integral0^1 integral0^2 y integral0^z+y 6 x y , dz , dx , dy
No entanto, na expressão original, os limites para z dependem de y . Isso significa que, para cada valor de y , x varia de 0 a 2y , e para cada x , z varia de 0 a z + y . Parece que houve um erro na formulação dos limites. Vamos reconsiderar a ordem das integrais.

Passo 5

Vamos reformular a ordem da integração para facilitar. Vamos integrar primeiro em relação a x , depois z , e por último y . Ajustando os limites:
integral0^1 integral0^2 y integral0^z+y 6 x y , dx , dz , dy
Agora, vamos integrar 6xy em relação a x de 0 a 2y .

Passo 6

Integrando em relação a x :
integral0^2 y 6xy , dx = 6y integral0^2 y x , dx = 6y [ x^22 ]0^2y = 6y ( (2y)^22 - 0 ) = 6y ( 4y^22 ) = 6y cdot 2y^2 = 12 y^3

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral restante, que é em relação a z e y :
integral0^1 integral0^z + y 12 y^3 , dz , dy
Integrando em relação a z :
integral0^z + y 12 y^3 , dz = 12 y^3 cdot z g|0^z+y = 12 y^3 (z + y - 0) = 12 y^3 (y)
Simplificando:
12 y^4

Passo 8

Agora, resta integrar em relação a y :
integral0^1 12 y^4 , dy = 12 integral0^1 y^4 , dy = 12 [ y^55 ]0^1 = 12 ( 15 - 0 ) = 125

Resposta

A integral iterada é igual a 125.

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