Calcule a integral definida.
a)
\int_{-1}^{2}\left(1+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral definida abaixo. As informações dadas são:
\int_{-1}^{2}\left(1+x^{2}\right)\,dx.
O que se solicita é o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Plano de ação (de forma bem didática): para calcular uma integral definida é preciso encontrar uma primitiva (antiderivada) F(x) da função integranda f(x)=1+x^{2} e então aplicar a regra de Barrow:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Agora uma pequena aula sobre a regra que vamos usar (regra do expoente / power rule):
  • Se n é um número real diferente de -1, então
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Para uma constante c vale
\int c\,dx = c\,x + C.
Aqui f(x)=1+x^{2} é soma de duas funções, então a primitiva é a soma das primitivas de cada parcela.

Passo 3

Vamos aplicar as regras termo a termo:
  • Para a parcela constante 1, pela regra das constantes,
\int 1\,dx = x + C.
  • Para a parcela x^{2}, aplicamos a regra do expoente com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
Portanto uma primitiva de 1+x^{2} é
F(x)=x+\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Agora avaliamos F(x) no limite superior x=2. Calculando passo a passo:
F(2)=2+\frac{2^{3}}{3}=2+\frac{8}{3}.
Para somar essas frações, escrevemos 2 como \dfrac{6}{3}:
F(2)=\frac{6}{3}+\frac{8}{3}=\frac{14}{3}.

Passo 5

Avaliamo F(x) no limite inferior x=-1. Calculando passo a passo:
F(-1)=-1+\frac{(-1)^{3}}{3}=-1+\frac{-1}{3}.
Escrevendo -1 como -\dfrac{3}{3},
F(-1)=-\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}.

Passo 6

Aplicamos a regra de Barrow para obter a integral definida:
\int_{-1}^{2}\left(1+x^{2}\right)\,dx = F(2)-F(-1)=\frac{14}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right).
Fazendo a subtração:
\frac{14}{3}+\frac{4}{3}=\frac{18}{3}=6.

Passo 7

Interpretação final rápida e motivadora: o valor da integral é 6. Isso significa que a área líquida entre a curva y=1+x^{2} e o eixo x, no intervalo de -1 a 2, é 6. Mandou bem vindo até aqui — é só aplicar a regra do expoente e a regra de Barrow!

Resposta

6

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