Calcule a integral definida dada usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi / 4 tan ^2 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida
integral0^pi/4 tan^2theta,dtheta usando o Teorema Fundamental do Cálculo. É um problema de integração de funções trigonométricas e a gente vai precisar usar uma identidade trig e depois encontrar a antiderivada.

Passo 2

A identidade que liga tan^2theta com sec^2theta é
tan^2theta = sec^2theta - 1
Então podemos reescrever a integral como
integral0^pi/4 tan^2theta,dtheta = integral0^pi/4 (sec^2theta - 1),dtheta = integral0^pi/4 sec^2theta,dtheta - integral0^pi/4 1,dtheta

Passo 3

Agora aplicamos o fundamental do cálculo achando as antiderivadas: a antiderivada de sec^2theta é tantheta e a de 1 é theta. Logo uma primitiva comum é
F(theta)=tantheta - theta

Passo 4

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
Fl(tfracpi4r)-F(0) = l(tan(tfracpi4) - tfracpi4r) - l(tan(0)-0r) = (1 - tfracpi4) - 0 = 1 - tfracpi4

Resposta

1 - pi4

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