Determine as derivadas de:
integralx^1 sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
F(x)=integralx^1sin t,dt. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a parte que trata da derivação de um integral cujo limite inferior depende de x.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt, então
G'(x)=f(b(x)),b'(x)-f(a(x)),a'(x).
No nosso caso, a(x)=x e b(x)=1 (constante), logo
F'(x)=sin(1)cdot0-sin(x)cdot1=-sin x.

Passo 3

Como checagem, podemos integrar explicitamente:
F(x)=integralx^1sin t,dt=[-cos t]x^1=-cos1+cos x,
e então
F'(x)=ddx(cos x)= -sin x, confirmando o resultado.

Resposta

-\sin x

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