Determine as derivadas de:
f(x)=integralsen x^cos x raizt^2+1 d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de f(x)=integralsin x^cos xraizt^2+1,dt. O conteúdo envolvido é a aplicação da regra de Leibniz para diferenciação de integrais com limites variáveis e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função integranda g(t)=raizt^2+1, o limite inferior u(x)=sin x com u'(x)=cos x e o limite superior v(x)=cos x com v'(x)=-sin x. Pela regra de Leibniz temos:

Passo 3

Substituindo g, u' e v' na regra de Leibniz, obtemos:

Passo 4

f'(x)=raiz(cos x)^2+1cdot(-sin x)-raiz(sin x)^2+1cdot(cos x)

Resposta

-sin xraiz1+cos^2 x-cos xraiz1+sin^2 x

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