1. sumk=1^+infty(-1)^k+1 k+1raizk+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada sumk=1^infty(-1)^k+1k+1raizk+1. O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em especial o teste da divergência (termo geral não nulo) e, se cabível, o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para aplicar o teste da divergência, observamos o comportamento do termo geral
ak = (-1)^k+1k+1raizk+1
Precisamos ver se akto0 quando ktoinfty. Focamos no módulo
l|akr| = k+1raizk+1

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por raizk:
k+1raizk+1 = raizk(raizk + 1/raizk)raizk(1 + 1/raizk) = raizk + 1/raizk1 + 1/raizk
Quando ktoinfty, temos 1/raizkto0, então
raizk + 1/raizk1 + 1/raizk sim raizk to +infty

Passo 4

Como |ak|to+infty, em particular ak não tende a zero. Pela condição necessária de convergência de séries (termo geral deve tender a zero), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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