Calcule a integral definida encaran-do-a como a área sob o gráfico de uma funçāo.
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Passo 1
Beleza, então temos que calcular a integral definida
. Basicamente, isso representa a área sob o gráfico da função
no intervalo de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais de funções constantes e de funções com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Aqui, separamos a integral da constante
e a integral da função
.
Passo 3
Calculando a primeira integral:
.
Como estamos integrando uma constante, a integral fica:
Como estamos integrando uma constante, a integral fica:
Então, a primeira parte da integral é igual a 12.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral:
.
Essa é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo com raio 2. A fórmula para a área de um círculo é , então a área de um semicírculo é
.
Substituindo :
Essa é uma integral conhecida que representa a área de um semicírculo com raio 2. A fórmula para a área de um círculo é
Substituindo
Portanto, a segunda parte da integral é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos juntar os resultados das duas integrais:
Essa é a expressão para a área total sob o gráfico da função no intervalo dado.
Resposta
A integral definida
é igual a
.