Calcule a integral definida.
\int_{0}^{1}\left(x^{3}-4 x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-4x^{2}+1\bigr)\,dx
Este é um problema de cálculo de antiderivada de polinômio e aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos encontrar uma primitiva F(x) de x^{3}-4x^{2}+1 e depois usar
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = F(1)-F(0).

Passo 2

Encontrar a primitiva de cada termo do integrando, lembrando as regras básicas:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},\quad \int a\,dx = a\,x.
Para x^{3} temos
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},
para -4x^{2} temos
\int -4x^{2}\,dx = -4\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{4x^{3}}{3},
e para 1 temos
\int 1\,dx = x.

Passo 3

Somando todas as primitivas, obtemos
F(x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{4x^{3}}{3} + x.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3}-4x^{2}+1\bigr)\,dx = F(1)-F(0).

Passo 5

Calcular F(1) e F(0):
F(1) = \frac{1^{4}}{4} - \frac{4\cdot1^{3}}{3} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + 1,
F(0) = \frac{0^{4}}{4} - \frac{4\cdot0^{3}}{3} + 0 = 0.
Agora,
F(1) = \frac{1}{4} + 1 - \frac{4}{3} = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} - \frac{4}{3} = \frac{5}{4} - \frac{4}{3} = \frac{15}{12} - \frac{16}{12} = -\frac{1}{12}.

Resposta

-\frac{1}{12}

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