Calcule a integral indefinida.
\int 5^{x} \operatorname{sen}\left(5^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int 5^{x}\sin\bigl(5^{x}\bigr)\,dx.
Perceba que temos a função \sin composta com 5^{x} e também 5^{x} multiplicando, o que sugere usar substituição de variável.

Passo 2

Definimos
u = 5^{x}.
Diferenciando,
du = 5^{x}\ln(5)\,dx.
Isolando dx, fica
dx = \frac{du}{5^{x}\ln(5)} = \frac{du}{u\,\ln(5)}.

Passo 3

Substituindo em \int 5^{x}\sin\bigl(5^{x}\bigr)\,dx, obtemos
\int 5^{x}\sin\bigl(5^{x}\bigr)\,dx = \int u\,\sin(u)\,\frac{du}{u\,\ln(5)} = \frac{1}{\ln(5)}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Calculamos a integral em u:
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo, em função de u a antiderivada é
-\frac{1}{\ln(5)}\cos(u) + C.

Passo 5

Basta voltar à variável original trocando u por 5^{x}.

Resposta

-\dfrac{1}{\ln(5)}\cos\bigl(5^{x}\bigr) + C

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