Calcule a integral indefinida.
\int \frac{v^{2}}{v^{3}+1} d v

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{v^{2}}{v^{3}+1}\,dv.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais e a ideia central é usar uma substituição que simplifique o denominador.

Passo 2

Observamos que o denominador é v^3+1. Se fizermos
u = v^3 + 1,
a derivada de u em relação a v traz exatamente um fator v^2 que está no numerador.

Passo 3

Derivando u, temos
du = 3\,v^2\,dv \quad\Longrightarrow\quad v^2\,dv = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{v^2}{v^3+1}\,dv = \int \frac{1}{u}\,\bigl(\tfrac{1}{3}\,du\bigr) = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

A integral de 1/u é o logaritmo natural, então
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{3}\ln\lvert u\rvert + C.
Voltando à variável v, temos
\frac{1}{3}\ln\lvert v^3+1\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\lvert v^3+1\rvert + C

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