Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} \ln (1+x) d x=2 \ln 2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \ln(1+x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, usando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma: u = \ln(1+x) e dv = dx.
Dessa escolha decorre que
du = \frac{1}{1+x}\,dx, \qquad v = \int dx = x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln(1+x)\,dx = x\,\ln(1+x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x}{1+x}\,dx, note que
\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}.
Logo,
\int \frac{x}{1+x}\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{1+x}\,dx = x - \ln(1+x) + C.

Passo 5

Substituindo esse resultado de volta:
\int \ln(1+x)\,dx = x\,\ln(1+x) - \bigl(x - \ln(1+x)\bigr) + C = (x+1)\,\ln(1+x) - x + C.
Agora definimos F(x) = (x+1)\ln(1+x) - x como antiderivada.

Passo 6

Avaliaremos de 0 a 1:
F(1) = (1+1)\ln2 - 1 = 2\ln2 - 1,
F(0) = (0+1)\ln1 - 0 = 0.
Portanto,
\int_{0}^{1} \ln(1+x)\,dx = F(1) - F(0) = 2\ln2 - 1.

Resposta

2\ln2 - 1.

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