Calcule a integral definida.
a) int0^1 x sqrtx^2+1 d x
b) int0^pi / 2 x cos (x^2) d x
c) int0^1 frac1x+1 d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular três integrais definidas: a) integral0^1 xraizx^2+1,dx, b) integral0^pi/2 xcos(x^2),dx e c) integral0^1 1x+1,dx. Vamos usar técnicas de substituição e propriedades de logaritmos para resolver cada uma.

Passo 2

Para a) usamos substituição. Seja u = x^2 + 1. Então du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfracdu2. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Assim
integral0^1 xraizx^2+1,dx = 12integral1^2 u^1/2,du

Passo 3

Integrando u^1/2, temos integral u^1/2,du = 23u^3/2. Logo
12integral1^2 u^1/2,du = 12cdot23l[u^3/2r]1^2 = 13l(2^3/2-1r)

Passo 4

Para b) também substituímos: seja u = x^2, então du = 2x,dx ou x,dx = tfracdu2. Os limites vão de u(0)=0 até u(pi/2)=pi^2/4. Dessa forma
integral0^pi/2 xcos(x^2),dx = 12integral0^pi^2/4 cos(u),du

Passo 5

A integral de cos(u) é sin(u), logo
12integral0^pi^2/4 cos(u),du = 12l[sin(u)r]0^pi^2/4 = 12sinl(pi^24r)

Passo 6

Para c) reconhecemos que a primitiva de 1x+1 é ln|x+1|. Portanto
integral0^1 1x+1,dx = l[ln(x+1)r]0^1 = ln(2) - ln(1) = ln 2

Resposta

a) tfrac2raiz2 - 13, b) tfrac12sinl(tfracpi^24r), c) ln 2

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