Considere o PVI
potências
. Encontre o domínio de
e determine
.
potências
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ + x y’ + 2 y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -2 $. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação usando uma série de potências, que é uma soma infinita de termos da forma $ a_n x^n $. Além disso, precisamos descobrir o domínio onde essa série converge e determinar o valor do coeficiente $ a_3 $.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a solução $ y(x) $ como uma série de potências:
Isso significa que $ y(x) $ é uma soma infinita onde cada termo é $ a_n x^n $, sendo $ a_n $ os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y(x) $ para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
Isso fica:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de $ x $. Para isso, fazemos uma mudança de índice na primeira soma:
Deixe $ k = n - 2 $, então $ n = k + 2 $. Assim:
E na segunda soma, multiplicamos por $ x $:
Agora, nossa equação fica:
Passo 6
Agora, alinhamos todas as somas com o mesmo índice $ k $:
Simplificando os termos dentro da soma:
Passo 7
Para que a soma seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente deve ser zero. Então, temos a relação de recorrência:
Podemos simplificar isso dividindo por $ k + 2 $ (desde que $ k \neq -2 $, o que não é o caso aqui):
Então, a relação de recorrência fica:
Passo 8
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $:
Para $ y(0) = 1 $:
Para $ y’(0) = -2 $:
Primeiro, a derivada é:
Então:
Passo 9
Agora, vamos usar a relação de recorrência para encontrar $ a_2 $ e $ a_3 $:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Passo 10
Finalmente, determinamos o domínio de $ y $. A série de potências tem raio de convergência $ R $ que, para séries polinomiais com coeficientes que não crescem mais rápido que fatoriais, geralmente é $ \infty $. Portanto, a série converge para todo $ x $, e o domínio de $ y $ é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).
Resposta
O domínio de $ y $ é todos os números reais, e o coeficiente $ a_3 $ vale 1.