Considere o PVI y^prime prime+x y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=-2
potências y(x)=sumn=0^infty an x^n. Encontre o domínio de y e determine a3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial do tipo $ y’’ + x y’ + 2 y = 0 $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = -2 $. Nosso objetivo é encontrar a solução dessa equação usando uma série de potências, que é uma soma infinita de termos da forma $ a_n x^n $. Além disso, precisamos descobrir o domínio onde essa série converge e determinar o valor do coeficiente $ a_3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a solução $ y(x) $ como uma série de potências:
y(x)
Isso significa que $ y(x) $ é uma soma infinita onde cada termo é $ a_n x^n $, sendo $ a_n $ os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de $ y(x) $ para substituir na equação diferencial. Vamos calcular a primeira e a segunda derivada:
Primeira derivada:
y(x)
Segunda derivada:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituímos $ y(x) $, $ y’(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
y(x)
Isso fica:
y'(x)

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de $ x $. Para isso, fazemos uma mudança de índice na primeira soma:
Deixe $ k = n - 2 $, então $ n = k + 2 $. Assim:
x
E na segunda soma, multiplicamos por $ x $:
k = n - 2
Agora, nossa equação fica:
n = k + 2

Passo 6

Agora, alinhamos todas as somas com o mesmo índice $ k $:
k
Simplificando os termos dentro da soma:
sumk=0^infty [ (k+2)(k+1) ak+2 + (k) ak + 2 ak ] x^k = 0

Passo 7

Para que a soma seja igual a zero para todo $ x $, cada coeficiente deve ser zero. Então, temos a relação de recorrência:
x
Podemos simplificar isso dividindo por $ k + 2 $ (desde que $ k \neq -2 $, o que não é o caso aqui):
(k+2)(k+1) ak+2 + (k + 2) ak = 0
Então, a relação de recorrência fica:
k + 2

Passo 8

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar $ a_0 $ e $ a_1 $:
Para $ y(0) = 1 $:
a0
Para $ y’(0) = -2 $:
Primeiro, a derivada é:
a1
Então:
y(0) = 1

Passo 9

Agora, vamos usar a relação de recorrência para encontrar $ a_2 $ e $ a_3 $:
Para $ k = 0 $:
a2
Para $ k = 1 $:
a3

Passo 10

Finalmente, determinamos o domínio de $ y $. A série de potências tem raio de convergência $ R $ que, para séries polinomiais com coeficientes que não crescem mais rápido que fatoriais, geralmente é $ \infty $. Portanto, a série converge para todo $ x $, e o domínio de $ y $ é $ \mathbb{R} $ (todos os números reais).

Resposta

O domínio de $ y $ é todos os números reais, e o coeficiente $ a_3 $ vale 1.

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