Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^3 e^x+3 d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada integral0^1 integral0^3 e^x+3 , dx , dy. O conteúdo é integração iterada de funções exponenciais, e vamos precisar usar a regra de integração de e^x e notar que o integrando é independente de y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x: integral0^3 e^x+3 , dx. Observando que e^x+3 = e^3 e^x, fatoramos e^3 e usamos integral e^x , dx = e^x, obtendo
e^3 l[e^xr]0^3 = e^3 (e^3 - 1)

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 1: integral0^1 e^3 (e^3 - 1) , dy. Como o integrando não depende de y, a integral é o valor multiplicado pelo comprimento do intervalo, resultando em e^3 (e^3 - 1) cdot (1 - 0) = e^3 (e^3 - 1).

Passo 4

Por fim, podemos simplificar a expressão como e^3 cdot e^3 - e^3 = e^6 - e^3.

Resposta

e^6 - e^3

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