Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função
em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir
. Essa é uma técnica comum chamada “substituição”, que ajuda a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso nos dirá como mudar a variável de integração.
Passo 4
Precisamos também ajustar os limites da integral para a nova variável
:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral original se transforma em:
Passo 5
Vamos simplificar a integral trocando os limites e tirando o sinal negativo:
Agora, temos uma integral mais direta de
em relação a
de 3 a 4.
Passo 6
Sabemos que a antiderivada de
é
. Então, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a área sob a curva:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 7
Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 3 a 4:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Podemos deixar assim ou simplificar mais substituindo
por
, se preferir.
Resposta
A integral definida
é igual a
.