Calcule a integral definida.
integral-3^-2 ln (1-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integral-3^-2 ln (1-x) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função ln(1-x) em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição para facilitar o cálculo. Vamos definir u = 1 - x. Essa é uma técnica comum chamada “substituição”, que ajuda a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
du = -dx ou dx = -du
Isso nos dirá como mudar a variável de integração.

Passo 4

Precisamos também ajustar os limites da integral para a nova variável u:
  • Quando x = -3, u = 1 - (-3) = 4
  • Quando x = -2, u = 1 - (-2) = 3
Então, a integral original se transforma em:
integral-3^-2 ln(1 - x) , dx = integral4^3 ln(u) , (-du)

Passo 5

Vamos simplificar a integral trocando os limites e tirando o sinal negativo:
integral4^3 ln(u) , (-du) = integral3^4 ln(u) , du
Agora, temos uma integral mais direta de ln(u) em relação a u de 3 a 4.

Passo 6

Sabemos que a antiderivada de ln(u) é u ln(u) - u. Então, vamos aplicar essa fórmula para encontrar a área sob a curva:
integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 7

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 3 a 4:
[ u ln(u) - u ]3^4 = (4 ln(4) - 4) - (3 ln(3) - 3)

Passo 8

Simplificando a expressão:
4 ln(4) - 4 - 3 ln(3) + 3 = 4 ln(4) - 3 ln(3) - 1
Podemos deixar assim ou simplificar mais substituindo ln(4) por 2ln(2), se preferir.

Resposta

A integral definida integral-3^-2 ln (1-x) , dx é igual a 4 ln(4) - 3 ln(3) - 1.

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