Calcule a integral definida.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral definida:
Esse tipo de integral envolve o produto de duas funções, $ x $ e $ \operatorname{sen}(5x) $. Para resolver, vamos usar a técnica da integração por partes, que é bem útil quando temos esse tipo de produto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos definir:
- $ u = x $
- $ dv = \operatorname{sen}(5x) , dx $
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $.
-
Derivando $ u $:
-
Integrando $ dv $ para encontrar $ v $:
Passo 4
Substituindo na fórmula da integração por partes:
Então:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, vamos integrar $ \operatorname{cos}(5x) $:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Ou seja:
Passo 7
Como queremos calcular a integral definida de 0 a $ \pi $, vamos substituir os limites na expressão resultante:
Passo 8
Vamos calcular em $ x = \pi $:
Sabemos que $ \operatorname{cos}(5\pi) = \operatorname{cos}(\pi) = -1 $ e $ \operatorname{sen}(5\pi) = 0 $, então:
Agora, em $ x = 0 $:
Passo 9
Subtraindo o valor em $ \pi $ menos o valor em 0:
Resposta
O valor da integral definida é $ \dfrac{\pi}{5} $.