Calcule a integral definida.
integral0^pi x sen(5 x) d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral definida:
integral0^pi x cdot sen(5x) , dx
Esse tipo de integral envolve o produto de duas funções, $ x $ e $ \operatorname{sen}(5x) $. Para resolver, vamos usar a técnica da integração por partes, que é bem útil quando temos esse tipo de produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Geralmente, escolhemos $ u $ como a função que fica mais simples ao derivar.
Vamos definir:
  • $ u = x $
  • $ dv = \operatorname{sen}(5x) , dx $

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $.
  • Derivando $ u $:
    du
  • Integrando $ dv $ para encontrar $ v $:
    v

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral x cdot sen(5x) , dx = uv - integral v , du
Então:
integral x cdot sen(5x) , dx = x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) , dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx
Agora, vamos integrar $ \operatorname{cos}(5x) $:
cos(5x)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= -x5 cos(5x) + 15 cdot 15 sen(5x) + C
Ou seja:
= -x5 cos(5x) + 125 sen(5x) + C

Passo 7

Como queremos calcular a integral definida de 0 a $ \pi $, vamos substituir os limites na expressão resultante:
pi

Passo 8

Vamos calcular em $ x = \pi $:
x = pi
Sabemos que $ \operatorname{cos}(5\pi) = \operatorname{cos}(\pi) = -1 $ e $ \operatorname{sen}(5\pi) = 0 $, então:
- pi5 cos(5pi) + 125 sen(5pi)
Agora, em $ x = 0 $:
cos(5pi) = cos(pi) = -1

Passo 9

Subtraindo o valor em $ \pi $ menos o valor em 0:
pi

Resposta

O valor da integral definida é $ \dfrac{\pi}{5} $.

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