Calcule a solução geral na forma de uma série certrada no ponto singular regular
de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as ratees indiciais diferem por um numero inteiro não-nulo, correspondendo a menor delas a solução geral):
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
de Frobenius centrada em x=0, ou seja
determinar séries da forma y= para a equação
de Frobenius centrada em x=0, ou seja
determinar séries da forma y=
Vamos usar o método de Frobenius, encontrando primeiro a equação indicial e depois a recorrência dos coeficientes.
Passo 2
Assumimos
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$$y’’=\sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}.
Passo 3
Para a série anular, cada coeficiente deve obedecer
No caso
cuja solução é
Passo 4
Como o coeficiente do termo geral nunca envolve
ou anteriores, mas apenas
, concluímos que,
para cada raiz , todos os
com
devem ser zero. Assim cada solução é simplesmente
para cada raiz
com
Passo 5
Juntando, a solução geral é combinação das duas potências independentes encontradas.
Resposta
y = C_{1}x + C_{2}x^{-5}