Calcule a solução geral na forma de uma série certrada no ponto singular regular x=0 de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as ratees indiciais diferem por um numero inteiro não-nulo, correspondendo a menor delas a solução geral):
x^2 y^prime prime+5 x y^prime-5 y=D

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
de Frobenius centrada em x=0, ou seja
determinar séries da forma y= sumn=0^infty an x^n+r para a equação
x^2y''+5xy'-5y=0
Vamos usar o método de Frobenius, encontrando primeiro a equação indicial e depois a recorrência dos coeficientes.

Passo 2

Assumimos
y=sumn=0^infty an x^n+r,
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y'=sumn=0^infty an (n+r)x^n+r-1,
$$y’’=\sum_{n=0}^\infty a_n (n+r)(n+r-1)x^{n+r-2}.
y''=sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1)x^n+r-2 \sum_{n=0}^\infty a_n\bigl[(n+r)(n+r-1)+5(n+r)-5\bigr]x^{n+r}=0.$$

Passo 3

Para a série anular, cada coeficiente deve obedecer
(n+r)(n+r-1)+5(n+r)-5=0
No caso n=0 isso dá a equação indicial
r(r-1)+5r-5 = r^2+4r-5 =0,
cuja solução é
r1=1, r2=-5

Passo 4

Como o coeficiente do termo geral nunca envolve an-1 ou anteriores, mas apenas an, concluímos que,
para cada raiz r, todos os an com n>=1 devem ser zero. Assim cada solução é simplesmente
y=Cx^r
com r=1 ou r=-5. A combinação linear dá a solução geral.

Passo 5

Juntando, a solução geral é combinação das duas potências independentes encontradas.

Resposta

y = C_{1}x + C_{2}x^{-5}

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